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Mecánica Cuántica Supersimétrica


En física teórica, la mecánica cuántica supersimétrica es un área de investigación donde los conceptos matemáticos de la física de alta energía se aplican al campo de la mecánica cuántica.

El comprender las consecuencias de la supersimetría ha demostrado ser matemáticamente desalentador, y así mismo, ha sido difícil desarrollar teorías que pudiesen dar cuenta de la ruptura espontánea de simetría, es decir, la falta de observación de partículas pareja de masa igual.

Para avanzar sobre estos problemas, los físicos desarrollaron la Mecánica Cuántica supersimétrica, una aplicación de álgebra supersimétrica para la Mecánica Cuántica, en contraposición a la teoría cuántica de campos. Se esperaba que estudiar las consecuencias de la Mecánica Cuántica Supersimétrica, en esta configuración más simple, llevaría a nueva comprensión; nuevas áreas de investigación en Mecánica Cuántica.

Por ejemplo, a partir de 2004, se comenzó a enseñar a los estudiantes a "resolver" el átomo de hidrógeno mediante un proceso laborioso que comienza introduciendo el potencial de Coulomb en la ecuación de Schrödinger. Después de una cantidad de trabajo considerable, con muchas ecuaciones diferenciales, el análisis produce una relación recursiva para los polinomios de Laguerre. El resultado final, es el espectro del átomo de hidrógeno de los estados de energía (con la etiqueta de los números cuánticos n y l).

Usando las ideas extraídas de la Mecánica Cuántica Supersimétrica, el resultado final se puede derivar con mucha mayor facilidad, en la mayor parte, de la misma manera que los métodos de operador que se utilizan para resolver el oscilador armónico. Curiosamente, este enfoque es análogo a la forma en la que Erwin Schrödinger resolvió por primera vez el átomo de hidrógeno.​ Por supuesto, él no llamó a su solución supersimétrica, pues la Mecánica Cuántica Supersimétrica aparecería treinta años en el futuro, pero todavía es notable que el enfoque de la Mecánica Cuántica Supersimétrica, tanto mayor y más elegante, se enseñe a tan pocos en las universidades.

La solución Supersimétrica al átomo de hidrógeno, es sólo un ejemplo de la clase muy general de las soluciones que ofrece a los potenciales de forma invariantes, una categoría que incluye la mayoría de los potenciales que se enseñan en los cursos introductorios de mecánica cuántica.

La Mecánica Cuántica Supersimétrica, consiste en pares de Hamiltonianos que comparten una relación particular matemática, que son llamados Hamiltonianos pareja. (Los términos de energía potencial que se producen en los Hamiltonianos luego se les llama potenciales socios.) Un teorema de introducción, muestra que por cada estado propio de un Hamiltoniano, su compañero Hamiltoniano tiene un estado propio que corresponde a la misma energía (con la posible excepción de estados propios de energía cero). Este hecho, puede ser aprovechado para deducir muchas de las propiedades del espectro de estado propio. Es análogo a la descripción original de la Supersimétrica, que se refiere a los bosones y fermiones. Podemos imaginar un "Hamiltoniano bosónico", cuyos estados propios son los bosones diversos de nuestra teoría. El socio de la Supersimétrica de este Hamiltoniano sería "fermiónico", y sus autoestados serían fermiones de la teoría. Cada bosón podría tener un compañero fermiónico de igual energía, pero, en el mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, así que podemos decir con la misma facilidad que las partículas asociadas tienen la misma masa.

Los conceptos en Supersimétrica, han proporcionado útiles extensiones para la aproximación WKB. Además, la Supersimétrica se ha aplicado a problemas de mecánica estadística no cuántica, a través de la ecuación de Fokker-Planck, que muestra que incluso si la inspiración original de la física de partículas de alta energía resultase ser un callejón sin salida, su investigación habría dado lugar ya, a muchos beneficios.

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